Comment calculer les chances de gagner 1.1 milliard de dollars et la valeur d'un ticket Mega Millions

On dirait que chaque billet à 2 $ vaut 3.60 $. Mais ce n'est pas le cas.

Jackpot probable pour le tirage Mega Millions du 29 juillet : 1.1 milliard de dollars. Chances que votre billet le gagne : un peu plus de 1 sur 300 millions.

Diviser un nombre par l'autre. Il semble que le gain attendu d'un billet à 2 $ soit supérieur à 3.60 $. Alors, vous devriez en acheter une brassée ?

Non, et cet essai va parcourir l'arithmétique du pourquoi. Si vous devez, achetez un billet, pour le plaisir. En acheter deux serait insensé.

Il y a trois raisons pour lesquelles le jackpot est trop maigre pour donner à votre billet un rendement attendu positif. La première est que le numéro annoncé est trompeur. Le pot est à verser sur 30 ans. Si vous voulez tout en même temps, cela se réduit à 648 millions de dollars.

Déjà, votre gain attendu est tombé à 2 $ et change, à peine mieux qu'un seuil de rentabilité.

Le problème suivant est que vous pourriez partager cet argent. Il y a 35 % de chances qu'il y ait un autre gagnant, vous n'en aurez donc que la moitié. Il y a 40 % de chances que vous partagiez avec deux autres gagnants ou plus.

Le risque de devoir partager réduit la valeur du jackpot à 1.17 $.

La dernière décote concerne les impôts. Le taux fédéral sur une grosse aubaine est de 37 %. Le taux national et local peut aller de 0 % (comme au Texas) à 14.8 % (à New York). Le tableau des gains ci-dessous suppose un taux de réussite de 5 % au niveau de l'État et local.

Avec une taxe combinée de 42 %, votre gain attendu du jackpot descend à 68 cents. Les plus petits prix valent un petit quelque chose, mais pas assez pour pousser la valeur d'un billet de loterie au-dessus d'un dollar.

Il existe un groupe restreint de joueurs de loterie qui s'en sortent légèrement mieux parce que leur part des plus petits gains est exonérée d'impôt. Ce groupe est composé de personnes à la fois riches et stupides. J'expliquerai plus tard.

Le jeu Mega Millions consiste à choisir cinq numéros différents dans la plage de 1 à 70 et un numéro Mega dans la plage de 1 à 25. Les cinq premiers sont comme une main de poker et leur ordre n'a pas d'importance. Le numéro Mega peut être le même que celui tiré dans le premier groupe.

Pour gagner le jackpot, vous devez toucher les six numéros. Si vous faites correspondre les cinq premiers mais pas la balle Mega, vous obtenez 1 million de dollars. Il y a des prix plus petits pour les matchs moins importants.

Je laisse de côté cette discussion une option «multiplicateur» qui coûte un dollar supplémentaire et vous donne de meilleurs gains à partir des prix du sous-jackpot.

Les petits lots sont fixes. Le jackpot n'est pas. Il commence petit et grandit à chaque fois qu'il y a un tirage sans gagnant de jackpot.

À la fin du tirage du 26 juillet, le pot était de 830 millions de dollars. Les opérateurs de loterie estiment qu'un peu plus de 415 millions de billets seront vendus pour le tirage du 27 juillet, pour 831 millions de dollars de ventes brutes. Une part de 32.5 % de cela, soit 270 millions de dollars, va dans le pot. Cela donnerait un pot vendredi soir de 1.1 milliard de dollars. C'est avant l'actualisation pour un paiement immédiat.

Ne priez pas pour une frénésie d'achat du dernier jour qui rend le jackpot plus grand que l'estimation officielle. Cela augmenterait également le risque que d'autres gagnants profitent de votre argent. L'effet net des ventes de billets à ce stade est de réduire la valeur de chaque billet.

Voici mon calcul de ce que vaut un billet :

Vous vous demandez peut-être d'où viennent certains de ces chiffres.

Pour obtenir les chances de gagner un jackpot, commencez par multiplier cette quantité :

70x69x68x67x66,

qui est le nombre de façons de tirer cinq boules d'une urne de 70 boules, sans remise, puis de diviser par cette quantité :

5x4x3x2,

qui est le nombre de façons de séquencer cinq objets (rappelez-vous, la loterie ne se soucie pas de l'ordre).

Lorsque vous avez terminé, multipliez par 25, car vous n'avez qu'une chance sur 1 de décrocher la méga balle.

Résultat : 1 chance sur 302,575,350 302,575,349 1 de gagner. Ou, en d'autres termes, une cote de XNUMX XNUMX XNUMX contre XNUMX contre.

Une correspondance de quatre des numéros principaux est 325 fois plus probable. C'est parce qu'il y a cinq numéros différents à se tromper et, pour chacun, 65 numéros erronés différents.

Quant au partage, cela se complique un peu. Vous devez calculer un facteur de partage. Ajoutez la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres gagnants… à ½ fois la probabilité qu'il y en ait un autre… à 1/3 fois la probabilité qu'il y en ait deux autres… et ainsi de suite.

Je vais sauter le détail mais notez que la première de ces probabilités (qu'aucun des 415 autres millions de tickets n'est un gagnant du jackpot) est très proche de e^-R, où e est un nombre que vous étiez censé apprendre en mathématiques classe et R est le rapport de 415 millions à 302.5 millions.

Et si vous évitiez la facture fiscale ? C'est difficile à faire avec les gros prix. Pour les petits paiements, vous pouvez profiter de la déduction fiscale pour les pertes de jeu. Si vous êtes un joueur régulier et que vous conservez vos talons de billets perdants, vous pourriez en avoir assez pour annuler un gain de 500 $. Cependant, la déduction est limitée au montant des gains que vous déclarez, et elle ne peut être réclamée que par les personnes qui détaillent les déductions.

D'une manière générale, pour tirer profit de l'énumération, il faut être riche. Pour être un joueur de loterie régulier, vous devez être stupide.